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Der blaue Kreis ist der Kreis durch die Seitenmitten des grünen Dreiecks. Er geht auch durch die Höhenfußpunkte des grünen Dreiecks und durch die Mitten zwischen dem Höhenschnittpunkt und der Ecke.

Zoomt man in der Konstruktion der Eulerstrecke noch ein wenig hinein, dann kann man die Spiegelung in das innere grüne Dreieck wiederholen. Es entsteht das blaue Dreieck. Dessen Umkreis ist der berühmte Neunpunkte-Kreis (auch Feuerbach-Kreis).

Er ist zunächst einmal das Bild des braun gezeichneten Umkreises des grünen Dreiecks. Folglich ist sein Mittelpunkt U** das Bild von U*. Mit ein wenig Rechnung folgt, dass U** die Strecke HU* halbiert. Dies ist der erste interessante Sachverhalt.

Weiter betrachten wir das fett eingezeichnete Rechteck. Das Bild der grünen Höhe AF ist die braune A*F*. Die braune Höhe ist aber gleichzeitig Mittelsenkrechte des grünen Dreiecks. Deshalb liegt U* auf ihr. Nach der obigen Bemerkung liegt U** auf der Mittenlinie dieses Rechtecks, die zu den Höhen parallel ist. Man sieht daraus, dass U**F=U**A* ist, und daher der Fußpunkt F der Höhe im grünen Dreieck auf dem Kreis liegen muss.

Damit haben wir sechs Punkte auf dem Kreis gefunden, die drei Seitenmitten und die drei Fußpunkte der Höhen. Nun hat der blaue Kreis den halben Radius des braunen Kreises, weil er das Bild dieses Kreises ist. Also hat man 2U**X=U*A. Außerdem haben wir oben festgestellt, dass 2HU**=HU* ist. Es folgt HX=XA. Die Halbierungspunkte zwischen dem Höhenschnittpunkt und den Ecken liegen also ebenfalls auf dem Neunpunkte-Kreis.